本帖最后由 dchneric 于 2013-2-5 09:50 编辑
摘要：撸主这个贴的主要目的是骗糖吃，顺便介绍乐器的震动发音背后的本质，以及一些和律制，泛音，音色相关的topics。文中涉及重口味数学和工程学，但应该不会影响阅读的…
铺垫
首先呢，我们看看一般的乐器是什么样的：
钢琴每个锤子打1-3根弦，通过弦的震动发声；
小提琴琴弓锯一根钢丝弦，弦震动发声；
吉他靠手撸，弦振动发声；
长笛有一个空腔，靠空气柱震动发声；
定音鼓通过鼓面振动发声，等等
所以可以看到，乐器都是靠物体的振动作为发音的源头的（这不是废话么！），而且大部分的振动都在琴弦上进行。振动产生后，要么传递给一个共鸣腔，要么直接向空气传播，进入人耳被我们听见。
大家还记得中学物理有提到，“受迫振动”的物体M只是重复振动源S的振动规律吧？（有这么回事么…）好，我们需要把它细化一下，这个规律只对简谐振动有效（课本上的例子是单摆，也就是正弦波啦）：
如果S的振动规律是[tex]y = sin(100 x)[/tex]，那M的受迫振动可能是[tex]y=C sin(100 x+\phi)[/tex]，其中[tex]\phi[/tex]是相位差（我们不关心，下同），C是一个系数，这个系数很重要，它和M的形状以及系统的结构有关。
如果振动源S有两个不同的正弦波a, b叠加而成，M的受迫振动将会是选择性的，即，对于波a和波b，会有不同的系数[tex]C_a[/tex]和[tex]C_b[/tex]，而且系数条件和M的形状及系统的结构有关。
这个没搞清楚不要紧~~撒，以狗~~
弦振动&弦振动方程&弦振动方程的解
既然大部分乐器都是以弦为主，那么我们就从弦模型的振动pattern开始谈起吧。首先，请随手找一根弦:
弦振动模型中的弦首先是个长条形的物体，而且需要两端固定（或施加其他的约束条件），需要物体本身有一定的弹性，需要绷紧，如上图所示（特指中间绷直的这段）~~~
那么，像这样的一段丝线，我们如果在中间拨一下，就能发生弦振动了。为了切实研究它的振动规律，古人对弦振动模型做足了研究，以至于它成为了最基本的模型之一。学过大雾的童鞋应该已经知道，假设弦在每一处的弹性都一样，而且上下震动的位移大小非常有限的话，可以用下面的模型描述之：
[tex]\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=a^2 \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}[/tex]
其中y是振动的位移，x是横轴，t是时间，a是和弦本身有关的一个常数
这是弦振动在在xy平面的情况。（考虑三维的话，就是再多写一个xz平面的振动公式，然后两者的位移叠加即可。所以下面我们还是以xy平面的情况做栗子）
嘛，这个模型其实就是传说中的波动方程，理工科的“数理方程/数学物理方法”课程的第一章一般就是它了~~ 傅里叶伯努利等人的研究发现，这种微分方程可以表达成下面的普通函数形式（驻波法）：
[tex]$Y(x,t)=\sum_{i=1}^{\infty}{C_i sin(\frac{i \pi a}{L}t+\phi)sin(\frac{i \pi}{L}x)}$[/tex]
其中数列Ci为待定系数.
这个解看似一团乱麻，但其实暗藏玄机，下一节我们重点讨论它~